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Die Reflexivität einer zweistelligen Relation R {\displaystyle R} auf einer Menge ist gegeben, wenn x R x {\displaystyle xRx} für alle Elemente x {\displaystyle x} der Menge gilt, also jedes Element in Relation zu sich selbst steht. Man nennt R {\displaystyle R} dann reflexiv.

Eine Relation heißt irreflexiv, wenn die Beziehung x R x {\displaystyle xRx} für kein Element x {\displaystyle x} der Menge gilt, also kein Element in Relation zu sich selbst steht. Es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind, wenn die Beziehung x R x {\displaystyle xRx} für einige Elemente x {\displaystyle x} der Menge gilt, doch nicht für alle.

Die Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation; die Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine strikte Ordnungsrelation.

• Formale Definition

• Beispiele

• Reflexiv

• Irreflexiv

• Weder reflexiv noch irreflexiv

• Darstellung als gerichteter Graph

• Eigenschaften

• Siehe auch

Ist M {\displaystyle M} eine Menge und R ⊆ ⊆ M × × M {\displaystyle R\subseteq M\times M} eine zweistellige Relation auf M {\displaystyle M} , dann definiert man (unter Verwendung der Infixnotation):

R {\displaystyle R} ist reflexiv : ⟺ ⟺ ∀ ∀ x ∈ ∈ M : x R x {\displaystyle \Longleftrightarrow \forall x\in M:xRx}

R {\displaystyle R} ist irreflexiv : ⟺ ⟺ ∀ ∀ x ∈ ∈ M : ¬ ¬ x R x {\displaystyle \Longleftrightarrow \forall x\in M:\neg \ xRx}

• Die Kleiner-Gleich-Relation ≤ ≤ {\displaystyle \leq } auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets x ≤ ≤ x {\displaystyle x\leq x} gilt. Sie ist darüber hinaus eine Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation ≥ ≥ {\displaystyle \geq } .

• Die gewöhnliche Gleichheit = {\displaystyle =} auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets x = x {\displaystyle x=x} gilt. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

• Die Teilmengenbeziehung ⊆ ⊆ {\displaystyle \subseteq } zwischen Mengen ist reflexiv, da stets A ⊆ ⊆ A {\displaystyle A\subseteq A} gilt. Sie ist darüber hinaus eine Halbordnung.

• Die Kleiner-Relation < {\displaystyle <} auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie x < x {\displaystyle x<x} gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation > {\displaystyle >} .

• Die Ungleichheit ≠ ≠ {\displaystyle \neq } auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie x ≠ ≠ x {\displaystyle x\neq x} gilt.

• Die echte Teilmengenbeziehung ⊂ ⊂ {\displaystyle \subset } zwischen Mengen ist irreflexiv, da nie A ⊂ ⊂ A {\displaystyle A\subset A} gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Halbordnung.

Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv:

x R y :⟺ ⟺ y = x 2 {\displaystyle xRy:\Longleftrightarrow y=x^{2}}

Grund: Für x := 1 {\displaystyle x:=1} gilt x R x {\displaystyle xRx} , für x := 2 {\displaystyle x:=2} gilt ¬ ¬ x R x {\displaystyle \neg xRx} .

Jede beliebige Relation R {\displaystyle R} auf einer Menge M {\displaystyle M} kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (siehe Beispiel im Bild oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von M {\displaystyle M} . Vom Knoten a {\displaystyle a} zum Knoten b {\displaystyle b} wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil a ⟶ ⟶ b {\displaystyle a\longrightarrow b} ) gezogen, wenn a R b {\displaystyle aRb} gilt.

Die Reflexivität von R {\displaystyle R} lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten a {\displaystyle a} gibt es eine Schleife ↻ ↻ a {\displaystyle {\stackrel {a}{\circlearrowright }}} . Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für keinen Knoten a {\displaystyle a} eine Schleife ↻ ↻ a {\displaystyle {\stackrel {a}{\circlearrowright }}} gibt.

• Mit Hilfe der identischen Relation I d M {\displaystyle Id_{M}} (die aus allen Paaren ( x , x ) {\displaystyle (x,x)} besteht) kann man die Begriffe auch so charakterisieren: R {\displaystyle R} ist reflexiv ⟺ ⟺ I d M ⊆ ⊆ R {\displaystyle \Longleftrightarrow Id_{M}\subseteq R} R {\displaystyle R} ist irreflexiv ⟺ ⟺ I d M ∩ ∩ R = ∅ ∅ {\displaystyle \Longleftrightarrow Id_{M}\cap R=\varnothing }

• Ist die Relation R {\displaystyle R} reflexiv bzw. irreflexiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation R − − 1 {\displaystyle R^{-1}} . Beispiele: die zu ≤ ≤ {\displaystyle \leq } konverse Relation ist ≥ ≥ {\displaystyle \geq } , die zu < {\displaystyle <} konverse ist > {\displaystyle >} .

• Ist die Relation R {\displaystyle R} reflexiv, dann ist die komplementäre Relation R c {\displaystyle R^{\rm {c}}} irreflexiv. Ist R {\displaystyle R} irreflexiv, dann ist R c {\displaystyle R^{\rm {c}}} reflexiv. Dabei ist die komplementäre Relation definiert durch x R c y :⟺ ⟺ ¬ ¬ x R y {\displaystyle xR^{\rm {c}}y:\Longleftrightarrow \neg xRy} .

• Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.

• Nichtsättigungsaxiom

• Reflexive Hülle

• Reflexiv-transitive Hülle